具有奇异系数的随机微分方程的 Sobolev 可微随机流：在输运方程中的应用

在本文中，我们建立了如下形式随机微分方程（SDE）的 Sobolev 微分同胚随机流 $$\mathbb{R}^d\ni x\quad\longmapsto\quad\phi_{s,t}(x)\in \mathbb{R}^d,\qquad s,t\in\mathbb{R}$$ 的存在性：$$dX_t=b(t,X_t)\,dt+dB_t,\qquad s,t\in\mathbb{R},X_s=x\in\mathbb{R}^d.$$ 上述 SDE 由有界可测漂移系数 $b:\mathbb{R}\times\mathbb{R}^d\rightarrow\mathbb{R}^d$ 和 $d$ 维 Brown 运动 $B$ 驱动。具体而言，我们证明了该 SDE 的随机流 $\phi_{s,t}(\cdot)$ 对于所有 $s,t$ 和所有 $p\in (1,\infty)$ 均存在于空间 $L^2(\Omega;W^{1,p}(\mathbb{R}^d,w))$ 中，其中 $W^{1,p}(\mathbb{R}^d,w)$ 表示关于 $\mathbb {R}^d$ 上 Lebesgue 测度具有 $p$ 阶矩的权重 $w$ 的加权 Sobolev 空间。从随机（及确定性）动力系统的角度来看，这是一个引人注目的结果，因为这些动力系统中的主流“观念”认为流的空間正则性继承自驱动向量场的空间正则性。该随机流的空间正则性导出了 (Stratonovich) 随机输运方程 $$\cases{\displaystyle d_tu(t,x)+\bigl(b(t,x)\cdot Du(t,x)\bigr)\,dt+\sum_{i=1}^de_i\cdot Du(t,x)\circ dB_t^i=0,\cr u(0,x)=u_0(x),}$$ 的 Sobolev 可微弱解的存在性与唯一性，其中 $b$ 有界且可测，$u_0$ 为 $C_b^1$ 类函数，$\{e_i\}_{i=1}^d$ 为 $\mathbb{R}^d$ 的一组基。众所周知，上述方程的确定性对应情形通常不存在解。