Hopf-伽罗瓦结构的可解性判据

设 $L/K$ 为域的有限伽罗瓦扩张，其伽罗瓦群为 $\Gamma$。与 $L/K$ 上每个 Hopf-伽罗瓦结构相关联的是一个与伽罗瓦群 $\Gamma$ 同阶的群 $G$。Hopf-伽罗瓦结构的类型定义为 $G$ 的同构类型。我们探讨了群 $\Gamma$ 与 $G$ 的一般性质在多大程度上相互制约。具体而言，我们证明若 $G$ 幂零则 $\Gamma$ 可解，且若 $\Gamma$ 阿贝尔则 $G$ 可解。后一结果的证明依赖于有限单群的分类。与这些结果相对照，我们给出了一些例子，其中群 $\Gamma$ 与 $G$ 具有不同的合成因子。特别地，我们证明了一个可解扩张可以容许一个不可解类型的 Hopf-伽罗瓦结构。