奇素数幂次可分域扩张上的 Hopf Galois 结构

有限域扩张 $L/K$ 上的 Hopf Galois 结构是一对 $(\mathcal{H},\mu)$，其中 $\mathcal{H}$ 是有限余交换 $K$-Hopf 代数，$\mu$ 是一个 Hopf 作用。本文给出关于奇素数幂次可分域扩张上 Hopf Galois 结构的若干结果。我们证明：若奇素数幂次的可分域扩张具有循环型的 Hopf Galois 结构，则它不具有非循环型结构。我们确定了次数为 $p^n$（$p$ 为奇素数）且正规闭包的 Galois 群为循环群 $C_{p^n}$ 与阶为 $D$ 的循环群 $C_D$ 的半直积 $C_{p^n}\rtimes C_D$（$D$ 与 $p$ 互素）的可分域扩张上循环型 Hopf Galois 结构的数目。我们刻画了次数为 $p^3$ 的传递群中作为具有某循环 Hopf Galois 结构的可分域扩张之正规闭包 Galois 群的那些群，并确定其数目。我们证明：若次数为 $p^3$ 的可分域扩张具有非交换 Hopf Galois 结构，则它有一个阿贝尔结构，其类型与非阿贝尔类型具有相同的指数。我们得到：对 $p>3$，两种阿贝尔非循环 Hopf Galois 结构不会出现在同一个次数为 $p^3$ 的可分扩张上。我们给出一张表，列出次数为 $27$ 的可分扩张上各可能类型的 Hopf Galois 结构数目，以说明对 $p=3$，全部四种非循环 Hopf Galois 结构可能出现在同一扩张上。最后，综合上述所有结果，我们列出对素数 $p>3$，次数为 $p^3$ 的可分扩张上所有可能的 Hopf Galois 结构类型集合。