域扩张上的幂零与阿贝尔 Hopf-Galois 结构

设 $L/K$ 为群 $\Gamma$ 的有限 Galois 域扩张。当 $\Gamma$ 为幂零群时，我们证明了枚举 $L/K$ 上所有幂零 Hopf-Galois 结构的问题可归约为 $\Gamma$ 的 Sylow 子群的相应问题。我们利用这一结论枚举了任意有限次循环扩张上的所有幂零（ resp. 阿贝尔）Hopf-Galois 结构。当 $\Gamma$ 为阿贝尔群时，我们给出了 $L/K$ 上每个阿贝尔 Hopf-Galois 结构均为 $\Gamma$ 型的条件。我们还给出了关于 $n$ 的一个判据，使得次数为 $n$ 的循环扩张上的*每一个* Hopf-Galois 结构都具有循环型。