特征子群格与 Hopf-Galois 结构

正规扩张 $K/k$ 上的 Hopf-Galois 结构与正则子群 $N\leq B=Perm(G)$ 的集合一一对应，这些子群被左正则表示 $\lambda(G)\leq B$ 正规化，其中 $G=Gal(K/k)$。每个这样的 $N$ 对应于一个作用在 $K/k$ 上的 Hopf 代数 $H_N=(K[N])^G$。此类正则子群 $N$ 不必同构于 $G$，但必须有相同的阶。可将所有这些 $N$ 的总体细分为集合 $R(G,[M])$，即那些被 $\lambda(G)$ 正规化且同构于给定抽象群 $M$（其中 $|M|=|G|$）的正则 $N$ 的集合。对于给定的 $N$ 的特征子群与 $G$ 的子群集合之间出现了一种单射对应，这源于 $H_N$ 的子 Hopf 代数与中间域 $k\subseteq F\subseteq K$ 之间的 Galois 对应。我们利用此对应证明对于某些配对 $(G,[M])$，集合 $R(G,[M])$ 必为空。