$\mu$CH 与 $\mu$DP 方程的太阳模型及 McKean 破裂定理

我们研究圆周上 $\mu$CH 与 $\mu$DP 方程的破裂,其方程为 $$m_t + u m_{\theta} + \lambda u_{\theta} m = 0,$$ 其中 $m = \mu(u) - u_{\theta\theta}$,$\mu$ 为均值,且分别对应 $\lambda=2$ 或 $\lambda=3$。已知若初始动量 $m_0$ 永不变号,则光滑解全局存在。我们证明逆命题:若初始动量变号,则 $C^2$ 解 $u$ 必在有限时间内破裂。该技巧类似于 McKean 对 Camassa-Holm 方程所作的证明,但我们引入了一种新视角,通过变量代换将方程视为一类具有中心力的平面系统族,其中守恒的角动量恰为守恒的涡量。我们还演示了这一视角如何应用于为其他连续介质力学 PDE 提供某些见解,例如 Okamoto-Sakajo-Wunsch 方程(特别地,De Gregorio 方程)。