具有双重阻尼和新型幂非线性的波方程与梁方程的全局存在性

我们考虑在 $\mathbb{R}^{n}$ 上具有摩擦阻尼、粘弹性阻尼和一种新型幂非线性的波方程与梁方程的柯西问题。除了解及其总能量，我们定义以下量：$$Q[u](t):=\|u_{t}(t,\cdot)+(-\Delta)^{\sigma}u(t,\cdot)\|_{L^{2}(\mathbb{R}^{n})}.$$ 我们的目标是证明，在线性模型中，摩擦阻尼与粘弹性阻尼之间的相互作用导致 $Q[u](t)$ 随 $t\to \infty$ 呈指数衰减。这一衰减促使我们定义一种形式为 $N[u]:=|u_{t}+(-\Delta)^{\sigma}u|^{p}$ 的新型幂非线性。令人惊讶的是，对于任何 $p>1$，$N[u]$ 都可以被视为一个小扰动，这意味着，唯一全局解、总能量和 $Q[u](t)$ 的衰减估计与右端项为零的相应线性柯西问题解的衰减估计一致。