基于链在度量测度空间中的 Sobolev 空间

我们通过链上游梯度在可能非完备度量测度空间上定义链 Sobolev 空间。在此语境下，$\varepsilon$ 链是一组有限点，其中相邻点之间的距离不超过 $\varepsilon$。它们在离散曲线中发挥作用。链上游梯度随之定义，链 Sobolev 空间通过让尺度参数 $\varepsilon$ 趋于零而定义。在完备情形下，我们证明链 Sobolev 空间等于以松弛上游梯度或 Lipschitz 函数的局部 Lipschitz 常数为准的经典 Sobolev 空间的定义。该结果的证明灵感来自 Eriksson-Bique 最近发展的技术。在可能非完备的情形下，我们证明链 Sobolev 空间等于以 Lipschitz 函数局部 Lipschitz 常数的松弛定义的 Sobolev 空间，而在一般情况下则与沿曲线上游梯度定义的 Sobolev 空间不同。我们将论文中发展的理论用于证明非完备情形下，关于点估计中 $\varepsilon$ 上游梯度、连接点链的模量下界以及用 Minkowski 内容度量的分离集大小的 Poincaré 不等式的等价表述。我们在此过程中讨论了弱 $\varepsilon$ 上游梯度概念以及链上积分的非对称概念。