均匀 H"{o}rmander 向量场下的 Sobolev 不等式及其极大函数

我们研究均匀 H"{o}rmander 向量场下的 Sobolev 不等式及其极大函数的存在性。在任意开子集 $\Omega\subset \mathbb{R}^n$ 上的可采 Sobolev 共轭指数的集合与子单位球体的体积生长率集合之间存在相互包含关系。这一分析结果精确刻画了指数与体积生长之间的依赖关系，并确定其最优可采范围。作为结果，我们在 $\mathbb{R}^n$ 上获得了全局 Sobolev 不等式。论文的第二部分研究了在退化情况下的最优 Sobolev 常数的可达性。我们发展了适用于均匀 H"{o}rmander 向量场结构的细化浓度紧凑性引理。随后我们证明，在广泛的代数条件下，即均匀 H"{o}rmander 向量场的体积保守自同构群对点齐次维数的最大水平集起作用时具有传递性，最优 Sobolev 常数即被实现。这一结果适用于一般意义上的均匀 H"{o}rmander 向量场于非等速正则退化情况，显著扩展了Grushin 类型向量场之外的分析范围。