$\mathbb{S}^4$ 上 $SO(2)\times SO(3)$ 不变 Ricci 孤立子与古老流

考虑 $SO(2)\times SO(3)$ 在 $\mathbb{R}^5=\mathbb{R}^2\oplus \mathbb{R}^3$ 上的标准作用。我们建立一个一致常数 $\mathcal{C}>0$，使得 $\mathbb{S}^4\subset \mathbb{R}^5$ 上任意 Einstein 常数为 $1$ 的 $SO(2)\times SO(3)$ 不变 Ricci 孤立子必有 Riemann 曲率与体积被 $\mathcal{C}$ 界住，且单射半径以 $\frac{1}{\mathcal{C}}$ 为下界。这一观察结合基本数值计算，给出有力证据暗示 $\mathbb{S}^4$ 上仅有的 $SO(2)\times SO(3)$ 不变 Ricci 孤立子是标准的（round）。我们也遇到了所谓的 Ricci 流的“薄饼”古老解。