螺线管吸引子的光滑性

我们考虑由圆周 $S^1$ 上的角度倍增映射之上实直线上仿射压缩的斜积所生成的动力系统：$T:S^{1}\times \R\to S^1\times \R, T(x,y)=(\ell x, \lambda y+f(x))$，其中 $\ell\geq 2$、$0<\lambda<1$ 且 $f$ 是 $S^1$ 上的 $C^r$ 函数。我们证明，若对某个 $0\leq s< r-2$ 有 $\lambda^{1+2s}\ell>1$，则对几乎所有（至少 $C^r$ 泛型）$f$，$T$ 的 SBR 测度的密度包含于 Sobolev 空间 $W^s(S^1\times \R)$ 中。