高维空间上螺线管吸引子维数的一个二分性

我们研究由斜积生成的动力系统：$$T: [0,1)\times\mathbb{C}\to [0,1)\times\mathbb{C} \quad\quad T(x,y)=(bx\mod1,\gamma y+\phi(x))$$ 其中整数 $b\ge2$，$\gamma\in\mathbb{C}$ 满足 $0<|\gamma|<1$，且 $\phi$ 是实解析的 $\mathbb{Z}$-周期函数。令 $\Delta\in[0,1)$ 使得 $\gamma=|\gamma|e^{2\pi i\Delta}$。对于 $\Delta\notin\mathbb{Q}$ 的情形，我们证明 $T$ 的螺线管吸引子 $K^{\phi}_{b,\,\gamma}$ 满足如下二分性：要么 $K^{\phi}_{b,\,\gamma}$ 是某个实解析函数的图，要么 $K^{\phi}_{b,\,\gamma}$ 的 Hausdorff 维数等于 $\min\{3,1+\frac{\log b}{\log1/|\gamma|}\}$。进一步，给定 $b$ 和 $\phi$，除非 $\phi$ 为常数，否则前一种情形只对可数个 $\gamma$ 发生。