关于经典 Weierstrass 函数图像的维数

本文研究了著名的 Weierstrass 不可微函数 $$W_{\lambda, b} (x) = \sum_{n=0}^{\infty}\lambda^n\cos(2\pi b^n x)$$ 图像的维数，其中整数 $b \ge 2$ 且 $1/b < \lambda < 1$。我们证明对于每个 $b$，存在（明确给出的）$\lambda_b \in (1/b, 1)$，使得对于每个 $\lambda\in(\lambda_b,1)$，$W_{\lambda, b}$ 图像的 Hausdorff 维数等于 $D = 2+\frac{\log\lambda}{\log b}$。我们还表明，对于某个更大区间上的几乎每个 $\lambda$，其维数也等于 $D$。这在部分上解决了一个著名的三十年猜想。此外，我们证明对于典型的 $\mathbb Z$-周期 $C^3$ 函数 $\phi$，函数 $$f (x) = \sum_{n=0}^{\infty}\lambda^n\phi(b^n x)$$（其中整数 $b \ge 2$ 且 $1/b < \lambda < 1$）图像的 Hausdorff 维数等于 $D$。