针对非自仿射测度的熵公式及其在Weierstrass型函数中的应用

设 $\tau : [0,1] \rightarrow [0,1]$ 为具有满支的分段扩张映射。给定 $\lambda : [0,1] \rightarrow (0,1)$ 和 $g : [0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ 满足 $\tau ' \lambda > 1$，我们研究Weierstrass型函数 $$\sum _{n=0} ^\infty \lambda ^n (x) \, g (\tau ^n (x)),$$ 其中 $\lambda ^n (x) := \lambda(x) \lambda (\tau (x)) \cdots \lambda (\tau ^{n-1} (x))$。在某些条件下，Bedford证明了其图像的盒维数由拓扑压函数 $$s \mapsto P ((1-s) \log \tau ' + \log \lambda) .$$ 的唯一零点给出。我们给出一个充分条件使得Hausdorff维数也与该值重合。我们采用动力系统理论方法，该方法最初用于研究包括经典Weierstrass函数在内的特例。为此我们证明了一个新的Ledrappier-Young熵公式，它是Pesin公式的条件版本，适用于非可逆动力系统。我们的公式对上述函数图上的所有提升Gibbs测度成立，这些测度一般不是自仿射的。