$\mathbb P^k$ 自同态扩张测度的 Mañé-Manning 公式

设 $k \ge 1$ 为整数，$f$ 为 $\mathbb P^k (\mathbb C)$ 的代数度 $d\geq 2$ 的全纯自同态。我们为具有严格正 Lyapunov 指数的遍历 $f$-不变概率测度引入了一种体积维数。特别地，此类测度包含所有测度论熵严格大于 $(k-1)\log d$ 的遍历测度，这是一维中具有正测度论熵的测度类的一个自然推广。当 $k=1$ 时，体积维数等价于 Hausdorff 维数，但对于 $k\geq 2$，它依赖于 $f$ 的动力学以纳入 Koebe 定理可能失效以及全纯自同态的非共形性。若 $\nu$ 是具有严格正 Lyapunov 指数的遍历 $f$-不变概率测度，我们证明了关联 $\nu$ 的体积维数、测度论熵与 Lyapunov 指数之和的 Mañé-Manning 公式的一个推广。作为推论，我们依据此类扩张测度的体积维数给出了一个自然压力函数首个零点的刻画。对于双曲映射，该零点也与 Julia 集的体积维数以及自然（体积-）共形测度的指数一致。这将 Denker-Urbański 与 McMullen 在一维中的结果推广到了任意维数 $k\geq 1$。我们的方法主要依赖于 Berteloot-Dupont-Molino 的一个定理，该定理针对具有严格正 Lyapunov 指数的测度，精确控制了自同态逆分支沿一般逆轨道的畸变。