SRB 测度维数的二分性

我们研究由斜积生成的动力系统：$$T: [0,1)\times\mathbb{R}\to [0,1)\times\mathbb{R} \quad\quad T(x,y)=(bx\mod1,\gamma y+\phi(x))$$ 其中整数 $b\ge2$，$0<\gamma<1$，$\phi$ 为实解析的 $\mathbb{Z}$-周期函数。我们证明了 $T$ 的 SRB 测度 $\omega$ 的如下二分性：要么 $\omega$ 的支撑是某个实解析函数的图像，要么 $\omega$ 的维数等于 $\min\{2,1+\frac{\log b}{\log1/\gamma}\}$。进一步，给定 $b$ 与 $\phi$，除非 $\phi$ 为常数，否则前一种情形只对有限多个 $\gamma$ 发生。