圆 $\beta$ 系综的小间隙

本文研究单位圆上的对数气体 $\beta$ 系综（C$\beta$E）的最小间隙，其中 $\beta$ 为任意正整数。主要结果是：最小间隙经 $n^{\frac {\beta+2}{\beta+1}}$ 归一化后，其分布将收敛于具有某显式强度的泊松点过程。由此可导出第 $k$ 小间隙的极限密度，其与 $x^{k(\beta+1)-1}e^{-x^{\beta+1}}$ 成正比。特别地，该结果适用于随机矩阵论中的经典 COE、CUE 与 CSE。证明的核心部分是推导关于 Selberg 积分的若干恒等式与不等式，这些本身应具有独立意义。