Kac-Luttinger 模型中的谱隙与玻色-爱因斯坦凝聚

我们考虑在 $\mathbb{R}^d$（$d \ge 2$）的大盒子中，固定半径的硬球障碍物构成的泊松云之间拉普拉斯算子的狄利克雷特征值。在以原点为中心、边长为 $2l$ 的大盒子中，已知最低特征值通常具有 $(\log l)^{-2/d}$ 的阶。我们在此证明，当 $l$ 趋于无穷时，以任意接近于 $1$ 的概率，谱隙保持大于 $\sigma (\log l)^{-(1 + 2/d)}$，其中小的正数 $\sigma$ 取决于人们希望概率接近于 $1$ 的程度。顺便指出，尺度 $(\log l)^{-(1+ 2/d)}$ 预期能刻画谱隙的正确大小。我们的结果涉及新的去集中估计的证明。将此谱隙下界与 Kerner-Pechmann-Spitzer 的结果结合，我们推断出在泊松球杂质中，非相互作用玻色子的 Kac-Luttinger 系统在概率意义下发生 I 型广义玻色-爱因斯坦凝聚，当密度超过临界值时仅单粒子基态被宏观占据。