基于 Feynman--Kac 公式的自由玻色气体非对角长程序

我们考虑了在各种边界条件下理想玻色气体的路径积分表示。我们证明了在著名的临界密度阈值处发生了玻色-爱因斯坦凝聚，方法是证明其 $1$ 粒子约化密度矩阵在该阈值之上表现出非对角长程序，而在阈值之下则没有。我们的证明基于著名的 Feynman--Kac 公式和一种用关键的泊松点过程表示的表示法。此外，在凝聚区中，我们推导出了短环中粒子数的具有强集中性的大数定律。与自由边界条件下整个凝聚体仅位于一个环中的情况不同，对于所有其他边界条件，我们获得了所有长环长度的集合的极限 Poisson--Dirichlet 分布。我们的证明是新颖且纯概率的（除了标准的特征值展开），使用了诸如马尔可夫不等式、泊松点过程、特定分区集合基数的组合公式以及具有 Pareto 分布步长的随机游走渐近性等基本工具。