具有非均匀方差的分支布朗运动中的减速现象

我们考虑一种具有时间非均匀方差 $\sigma(t/T)$ 的分支布朗运动模型，其中 $\sigma$ 是严格递减函数。Fang 和 Zeitouni (2012) 表明，最大粒子的位置 $M_T$ 满足 $M_T-v_\sigma T$ 为 $T^{-1/3}$ 阶的负值，其中 $v_\sigma$ 是函数 $\sigma$ 在区间 $[0,1]$ 上的积分。在本文中，我们改进了这一结果，并证明存在一个函数 $m_T$，使得当 $T\to\infty$ 时，$M_T-m_T$ 依分布收敛。此外，$m_T=v_\sigma T - w_\sigma T^{1/3} - \sigma(1)\log T + O(1)$，其中 $w_\sigma = 2^{-1/3}\alpha_1 \int_0^1 \sigma(s)^{1/3} |\sigma'(s)|^{2/3}\,\dd s$。这里，$-\alpha_1=-2.33811...$ 是 Airy 函数的最大零点。证明过程结合了概率论与分析学的论证方法。