一维非均匀介质中的跑动-翻滚粒子

我们研究了一维中的跑动-翻滚粒子（RTP），也称为持久布朗运动。电报噪声 $\sigma(t)$ 驱动粒子以一定速率在 $\pm 1$ 值之间切换。记从 $1$ 翻转到 $-1$ 的速率为 $R_1$，反向速率为 $R_2$，我们考虑如下形式的位置和方向相关速率：$R_1(x)=\left(\frac{|x|}{l}\right) ^{\alpha}\left[\gamma_1~\theta(x)+\gamma_2 ~\theta(-x)\right]$ 和 $R_2(x)=\left(\frac{|x|}{l}\right) ^{\alpha}\left[\gamma_2~\theta(x)+\gamma_1 ~\theta(-x)\right]$，其中 $\alpha \geq 0$。对于 $\gamma_1 >\gamma_2$，我们发现粒子即使在无限长直线上也表现出稳态概率分布，其精确形式取决于 $\alpha$。对于 $\alpha =0$ 和 $1$，我们在大 $t$ 时精确求解了任意 $\gamma_1$ 和 $\gamma_2$ 下的主方程。从我们给出的含时概率分布 $P(x,t)$ 的显式表达式中，我们发现当 $\gamma_1 > \gamma_2$ 时，它指数弛豫到稳态分布。另一方面，对于 $\gamma_1<\gamma_2$，$P(x,t)$ 的大 $t$ 行为与 $\gamma_1=\gamma_2$ 情况截然不同，后者的分布以 $t^{-\frac{1}{2}}$ 衰减。与后者相反，在前一种情况下，即使在大 $t$ 时粒子也不遵守细致平衡。对于一般的 $\alpha$，我们论证了在 $\gamma_1>\gamma_2$ 情况下向稳态的趋近是指数式的，并通过数值演示了这一点。