一维约束势中的跑动-翻滚粒子：稳态、弛豫与首达性质

我们研究了一维跑动-翻滚粒子在类型为 $V(x) = \alpha \, |x|^p$（其中 $p>0$）的约束势下的动力学。驱动粒子运动的噪声为电报噪声，在 $\pm 1$ 之间交替。我们证明了稳态概率密度 $P(x)$ 在 $(p, \alpha)$ 平面上具有丰富的行为。对于 $p>1$，分布在区间 $[x_-,x_+]$ 内具有有限支撑，并且存在一条临界线 $\alpha_c(p)$，将 $\alpha > \alpha_c(p)$ 时 $P(x)$ 在 $x_\pm$ 处发散的主动类相，与 $\alpha < \alpha_c(p)$ 时 $P(x)$ 在 $x_\pm$ 处消失的被动类相分开。对于 $p<1$，稳态密度 $P(x)$ 塌缩为原点处的 delta 函数，即 $P(x) = \delta(x)$。在临界情形 $p=1$ 时，我们证明对于 $\alpha < \alpha_c$，稳态密度 $P(x)$ 为对称指数形式，而对于 $\alpha > \alpha_c$，它再次为 delta 函数 $P(x) = \delta(x)$。对于特殊情形 $p=2$ 和 $p=1$，我们精确求得了完整的含时分布 $P(x,t)$，从而可以研究系统弛豫到稳态的过程。此外，在这两个情形下，我们还解析地研究了到原点的首达时间的完整分布。数值模拟与我们的解析预测完全一致。