双阱相互作用作用下的直线运动-翻滚粒子稳态的非唯一性

我们研究了在一维空间中 N 个直线运动-翻滚粒子 (RTP)，其通过双阱势 $W(r)=-k_0 r^2/2+g r^4/4$ 进行相互作用，该势在粒子间短距离 $r$ 下为斥力，在较大距离下为吸引力。在大时间尺度上，系统形成一个束缚态，其中粒子密度具有有限支撑域。我们关注的是在 $N\to+\infty$ 的极限下，系统总密度 $\rho_s(x)$ 在稳态中的确定。我们得到 $\rho_s(x)$ 作为函数的显式表达式，其中包含“renormalized”相互作用参数 $k=k_0-3m_2$，其中 $m_2$ 为 $\rho_s(x)$ 的第二矩。有趣的是，这一稳态解在 $k$ 的某个特定值处表现出支撑域连接与非连接之间的转变，这在布朗粒子的情况下没有对应的等价现象。详细分析两种情况下稳态密度的表达式，我们发现各种不同的支配 regime，其在支撑边缘以及 $x=0$ 附近表现出不同的行为。此外，我们发现映射 $k_0\to k$ 在翻滚率 $\gamma$ 小于某个特定值时对某些 $k_0$ 范围内的值变为多值，这意味着存在两个稳定解。最后，我们指出，在支撑域非连接的情况下，可以观察到稳态中密度 $\rho_s(x)$ 非对称的现象。所有我们的解析预测都与数值仿真结果良好一致，数值仿真仅需 $N=100$ 个粒子即可实现。这种在主动 (RTP) 噪声存在下的稳态非唯一性，与布朗粒子的 Gibbs 平衡下的唯一性形成鲜明对比。我们认为这些结果也适用于一类更真实的相互作用，这些相互作用既有吸引部分又有斥力部分，但在无穷远处衰减。