变形域在流形中的奇点与拓扑变化

给定在流形 $M^{n}$ 上的一个 $C^{0}$ 型域变 $D(t)$，其中允许域 $D(t)$ 的拓扑类型随 $t$ 变化。在什么情况下，分析中的量在 $t$ 时是连续的，使得沿着 $t$ 仍可使用分析技术？这种问题在我们之前的工作 [Hw] 中被处理，涉及常均曲率 (CMC) 海表上的域。在本文中，我们考虑更普遍的情况，即变形域位于任意光滑流形 $M^{n}$ 上，并配备任意自伴强椭圆算子 $L$（取代 $\mathbb{R}^{n+1}$ 中 CMC 海表的稳定算子 [Hw]）。我们定义准 Lipschitz 域的概念，通过以特定方式将 Lipschitz 域的某些边界点粘合，从而允许 $D(t)$ 的拓扑发生变化。我们证明，任何“合适的”在 $M^{n}$ 上的单调 $C^{0}$ 型域变（见定义 1.1）沿着 $t$ 都具有 Sobolev 连续性和特征值连续性。由此得到“全局” Morse 指数定理。此外，给定一个任意的 Lipschitz 域 $D$ 在 $M^{n}$ 中，可以找到一条从小 $n$ 球到域 $D$ 的 $C^0$ 型域变，使得 $D(t)$ 的拓扑可能发生变化，但所需的连续性定理仍成立，从而全局 Morse 指数定理仍然成立。