$\alpha$-Dirac调和映射流的短时存在性及其应用

在本文中，我们通过 $\alpha$-Dirac调和映射的热流与爆破分析，讨论闭曲面上Dirac调和映射的一般存在理论。更确切地说，给定任意初始映射，沿该映射Dirac算子具有非平凡极小核，我们首先证明 $\alpha$-Dirac调和映射热流的短时存在性。全局存在的障碍在于Dirac算子的核沿流不再保持极小的奇异时刻。在此情形下，即便映射关于时间是光滑的，核也可能不连续。为克服此问题，我们利用目标流形的解析性，得到Dirac算子具有极小核的映射在给定初始映射的同伦类中是稠密的。于是，当我们到达奇异时刻时，该稠密性允许我们选取另一具有更低能量的映射来重启流。因此，我们得到一个在孤立点集上可能不连续的流。此外，借助小能量正则性与爆破分析，我们最终得到闭曲面上非平凡 $\alpha$-Dirac调和映射（$\alpha\geq1$）的存在性。而且，若目标流形不容许任何非平凡调和球面，则映射部分保持在给定初始映射的同一同伦类中。