离散立方体上 Gowers 范数的最佳不等式

我们研究适用于所有函数 $f\colon\mathbb{Z}^d\to\mathbb{C}$ 且取值于 $\{0,1,\ldots,n-1\}^d$ 的支撑集上的无量纲不等式 $$\|f\|_{U^k} \leq \|f\|_{\ell^{p_{k,n}}}$$ 以及取值于同一离散立方体上所有子集 $A$ 上成立的估计 $$\|1_A\|_{U^k}^{2^k}\leq |A|^{t_{k,n}}$$ 。我们发展了类似于 de Dios Pont、Greenfeld、Ivanisvili 和 Madrid 工作的一般理论，以证明临界指数满足 $p_{k,n} t_{k,n} = 2^k$。本文的三个主要结果如下：给出 $t_{k,2}$ 的显式公式（推广了 Kane 和 Tao 的定理），以及当 $n\to\infty$ 时固定 $k\geq2$ 的 $t_{k,n}$ 的双侧渐近估计（推广了 Shao 的定理），以及当 $k\to\infty$ 时固定 $n\geq2$ 的 $t_{k,n}$ 的精确渐近公式。