$T_n^{(k)}$ 最大临界值的估计

本文研究量 $$\tau_{n,k}:=\frac{|T_n^{(k)}(\omega_{n,k})|}{T_n^{(k)}(1)}\,,$$ 其中 $T_n$ 为第一类第 $n$ 个 Chebyshev 多项式,$\omega_{n,k}$ 为 $T_n^{(k+1)}$ 的最大零点。由于 $T_n^{(k)}$ 的局部极值绝对值在 $[-1,1]$ 上单调增至端点,值 $\tau_{n,k}$ 表明 $T_n^{(k)}$ 的最大临界值相对于其全局最大值 $T_n^{(k)}(1)$ 有多小。这是对近期论文\cite{NNS2018}的延续,其中基于 Alexei Shadrin 对 $[-1,1]$ 内绝对值不超过 $1$ 的多项式的 Schaeffer--Duffin 逐点优函数的显式形式,获得了 $\tau_{n,k}$ 的上界与渐近公式。我们利用 Knut Petras \cite{KP1996} 关于与超球权函数 $w_{\lambda}(x)=(1-x^2)^{\lambda-1/2}$ 关联的高斯求积公式权重的结论,求得 $\tau_{n,k}^2$ 的显式(模 $\omega_{n,k}$)公式。这使我们能证明下界并改进\cite{NNS2018}中得到的 $\tau_{n,k}$ 上界。该显式公式也给出了\cite{NNS2018}中逼近 $n\to\infty$ 时 $\tau_{n,k}$ 的渐近公式的新推导。新方法更简洁,无需使用关于 Bessel 函数纵座标的深刻结果,且能更好地分析估计的锐度。