球面上 $N$ 个点涡的形状动力学

我们利用系统的 $\mathsf{SO}(3)$-对称性，给出球面上 $N$ 个点涡的相对运动或形状动力学的几何描述。主要思想是首先将点涡动力学从 $\mathbb{S}^{2}$ 提升 to $\mathbb{C}^{2}$，从而绕过 $\mathsf{SO}(3)$-约化的技术困难。随后我们使用一个对偶对执行 $\mathsf{U}(2)$-约化，得到形状动力学的 Lie--Poisson 动力学。该 Lie--Poisson 结构帮助我们找到形状动力学的一族 Casimir 不变量。我们进一步通过 $\mathbb{T}^{N-1}$-对称性约化系统，得到涉及比 Borisov 与 Pavlov 先前工作更少形状变量的形状动力学 Poisson 结构。作为形状动力学的应用，我们证明当所有环量同号时，四面体相对平衡是稳定的，推广了关于相同点涡四面体相对平衡的若干已有结果。