Bedford-McMullen 纹理的自嵌入相似变形

我们证明，任何非退化的 Bedford-McMullen 纹理不容许斜向自嵌入相似变形；即，如果 $f$ 是将纹理嵌入自身的相似变形，则其映像的 $x$ 轴必须平行于其中一个主轴。该结果导致了关于此类嵌入收缩比例的对数共轭性结果，完成了 Algom 和 Hochman 之前关于由乘法无关指数生成的 Bedford-McMullen 纹理的研究。我们的方法还提供了一种避免分析切向集的新证明。对于自相似情况，然而，我们构造了一个对适当斜向线对称的广义 Sierpi\'nski 纹理，从而容许反射性斜向自嵌入。作为补充，我们证明，如果广义 Sierpi\'nski 纹理满足强分离条件且容许斜向旋转自嵌入相似变形，则其旋转角的切向取值为 $\pm 1$。