广义出租车数的种子

广义出租车数 $T(n,m,t)$ 等于能以 $t$ 种方式表示为 $n$ 个正 $m$ 次幂之和的最小整数。该定义受 Ramanujan 的观察启发：即 $1729 = 1^3+ 12^3 =9^3 + 10^3$ 是以两种方式表示为两个立方数之和的最小整数，因此 $1729= T(2,3,2)$。本文中我们证明，对任意给定的正整数 $m$ 和 $t$，存在一个整数 $s$，使得对每个 $k \geq 0$ 都有 $T(s+k,m,t) =T(s,m,t) +k$。满足此性质的最小 $s$ 被称为广义出租车数的种子。此外，当方式数 $t$ 为 2 或 3 时，我们给出了该种子数的显式表达式，并对 $t \geq 4$ 种方式的情形提出了一个猜想。