薛定谔对称性：历史回顾

本文回顾了伽利略对称性的共形扩展的历史，现在称为薛定谔对称性。在物理学文献中，其发现通常归功于Jackiw、Niederer和Hagen（1972）。然而，薛定谔对称性有更古老的渊源：相关的守恒量在1842/43年就被雅可比所知，其欧几里得对应物由Sophus Lie在1881年研究热方程时发现。研究薛定谔对称性的一种便捷方式是由非相对论性Kaluza-Klein型“Bargmann”框架提供的，该框架由Eisenhart（1929）首次提出，但后来被遗忘，直到1984年才由Duval等人重新发现。薛定谔对称性的表示与相对论共形不变性的表示不同，其动力学指数$z=2$，而相对论共形不变性中$z=1$。对于一般的$z$值，存在整个新代数族，其中对于$z=2/\ell$，包括$\ell$-共形伽利略代数。我们还回顾了共形代数的非相对论极限，并且该极限导致$1$-共形伽利略代数，而不是薛定谔代数。后者可以通过Bargmann框架中的约化恢复。伽利略和薛定谔对称性的一个显著特征是Bargmann超选择规则，代数上与中心扩展相关。这一规则的一个经验后果是拉瓦锡已经知道的“质量守恒”。作为这些概念的说明，回顾了在简单模型系统中物理老化的应用。