论 Schr"odinger 与 Carroll Schr"odinger 方程：对偶性与应用

我们考察标准 Schr"odinger 方程与其 Carrollian 类拟方程在 1+1 维空间中的精确结构关系，重点关注对偶性、势函数映射及解的行为。我们的工作依次展开如下：（i）我们用算子 $H$ 与 $F$ 对两种动力学进行编码，并探讨在给定外部势函数下，如何获得两种形式中相同类型的解；（ii）我们构造一个势函数相关的参数化 $x = \delta(t)$，将空间无关的 Carroll 方程映射到时间无关的 Schr"odinger 方程，并推导一个斯鲁斯坦关系，用于指定任意静态 $V_{sch}$ 对应的映射 $\delta$（包括谐振、库仑类及自由情形）；（iii）我们通过去除 $V_{car}$ 进行 gauge 变换随后进行坐标反转，将守恒密度与守恒流联系起来，建立连续方程的等价性；（iv）我们从能动量双矢量的 ultra-boost 中推导出一个 Carroll 色散关系，同时通过 Hamilton-Jacobi 形式推导 Carroll 波方程的经典极限；（v）我们在等 $x$ Hilbert 空间 $L^2(R_t)$ 上放置 Carroll 动力学，证明 $x$-演化的单位性，并以可精确求解的高斯包和有限时间量化扰动说明动力学；（vi）对于一般 $V(x; t)$，我们进行 gauge 化约化，将其转化为 interaction momentum，并围绕可求解的时间轮廓构建受控的 Dyson 展开。