Schrödinger 联络：从数学基础走向 Yano-Schrödinger 宇宙学

Schrödinger 联络是一类特殊的仿射联络，尽管它们与度量不相容，但在自平行输运下能保持向量的长度。在本文中，我们引入了一种新型的 Schrödinger 联络的无坐标表述。在用微分几何语言重述其基本性质后，我们表明 Schrödinger 联络可以通过挠率、非度量性或两者来实现。然后我们计算了 Yano-Schrödinger 几何的曲率张量，并给出了第一个具有挠率的非静态 Einstein 流形的显式例子。我们将 Raychaudhuri 方程和 Sachs 方程推广到 Schrödinger 几何。这些联络的保长性质使我们能够构建 Sachs 方程的拉格朗日表述。我们还得到了一个宇宙学距离方程。在此几何分析之后，我们利用度量方法和度量-仿射方法，基于 Yano-Schrödinger 几何构建了引力理论。对于后者，我们引入了一种新型宇宙学超流体，它将作为 Schrödinger 几何的源。最后，我们在这些理论中构建了简单的宇宙学模型，并将我们的结果与观测数据以及 $\Lambda$CDM 模型进行了比较。