$\mathbb{R}_1^3$ 中约束于曲面的粒子的薛定谔形式体系

本文研究了限制在三维闵可夫斯基空间 $\mathbb{R}_1^3$（即装备度量 $\text{diag}(-1,1,1)$ 的 $\mathbb{R}^3$）中曲面 $S$ 上运动的非相对论粒子的薛定谔方程。在确立了新薛定谔方程解释性公设的一致性，即概率守恒以及由 $\mathbb{R}_1^3$ 中拉普拉斯算符构造的新哈密顿量的厄米性之后，我们探究了新有效几何中的约束势形式体系。与著名的欧氏情形类似，我们发现了作用于动力学的几何诱导势 $V_S = - \frac{\hbar^{2}}{2m} \left(\varepsilon H^2-K\right)$，该势除了通常依赖于曲面的平均曲率（$H$）和高斯曲率（$K$）外，还有一个显著特征，即依赖于曲面诱导度规的符号：$\varepsilon= +1$（若符号为 $(-,+)$），$\varepsilon=1$（若符号为 $(+,+)$）。我们考察了 $\mathbb{R}^3_1$ 中旋转曲面的应用，并给出了薛定谔方程可精确求解的实例。希望我们的形式体系能在如双曲超材料这类新型材料的建模中证明有用，双曲超材料以双曲色散关系为特征，不同于常规材料中典型的球型（椭圆）色散。