受限粒子的量子力学与给定几何诱导势问题

实验技术已发展到合成具有非平凡形状的各种纳米结构的阶段，使得受限粒子的动力学及其与几何的联系成为一个现实且重要的研究课题。几十年前，人们设计了一种形式体系来推导约束的有意义哈密顿量，表明几何诱导势(GIP)作用于动力学。本文研究欧几里得空间$\mathbb{R}^3$中曲线和曲面的给定GIP问题，即如何找到势预先给定的弯曲区域。曲线问题通过积分Frenet方程轻松解决，而曲面问题涉及非线性二阶偏微分方程(PDE)。此处，我们探索$\mathbb{R}^3$中由单参数等距群不变的曲面的GIP，这将PDE转化为常微分方程(ODE)，并导出柱面、旋转面和螺旋面。螺旋面尤为重要，因为它们是建立手性与GIP之间联系的自然候选。最后，对于螺旋极小曲面族，我们证明了几何诱导束缚态和局域态的存在性，以及当曲面受到额外电荷时控制概率密度分布变化的可能性。