非局部动力学方程的 Schauder 估计及其应用

在本文中，我们发展了一种基于 Littlewood-Paley 分解和积分形式热核估计的新方法，以在 $\mathbb R^{2d}$ 中为以下具有 Hölder 系数的退化非局部方程建立 Schauder 估计：$$\partial_tu=\mathscr L^{(\alpha)}_{\kappa;{\rm v}} u+b\cdot\nabla u+f,\ u_0=0,$$ 其中 $u=u(t,x,{\rm v})$，$\mathscr L^{(\alpha)}_{\kappa;{\rm v}}$ 是具有 $\alpha\in(1, 2)$ 和核函数 $\kappa$ 的非局部 $\alpha$-稳定类算子，作用于变量 ${\rm v}$。作为应用，我们证明了以下具有 Hölder 漂移 $b$ 的退化随机微分方程的强适定性：$${\rm d}Z_t=b(t,Z_t){\rm d}t+(0,\sigma(t,Z_t){\rm d}L^{(\alpha)}_t),\ \ Z_0=(x,{\rm v})\in\mathbb R^{2d},$$ 其中 $L^{(\alpha)}_t$ 是 $d$ 维旋转不变且对称的 $\alpha$-稳定过程，$\alpha\in(1, 2)$，$b:\mathbb R_+\times\mathbb R^{2d}\to\mathbb R^{2d}$ 是关于 $(x,{\rm v})$ 的 $(\gamma,\beta)$-Hölder 连续函数，其中 $\gamma\in\big(\frac{2+\alpha}{2(1+\alpha)},1\big)$，$\beta\in\big(1-\frac{\alpha}{2},1\big)$，$\sigma:\mathbb R_+\times\mathbb R^{2d}\to\mathbb R^d\otimes\mathbb R^d$ 是 Lipschitz 函数。此外，我们还证明了对几乎所有 $\omega$，以下随机输运方程存在唯一的 $C^1_b$-解：$$\partial_tu(t,x,\omega)+(b(t,x)+L^{(\alpha)}_t(\omega))\cdot\nabla_x u(t,x,\omega)=0,\ \ u(0,x)=\varphi(x),$$ 其中 $\varphi\in C^1_b(\mathbb R^d)$，$b:\mathbb R_+\times\mathbb R^d\to\mathbb R^d$ 是关于 $(t,x)$ 的有界连续函数，且关于 $x$ 是 $\gamma$ 阶 Hölder 连续的（关于 $t$ 一致），其中 $\gamma\in\big(\frac{2+\alpha}{2(1+\alpha)},1\big)$。