二维阿贝尔沙堆模型中雪崩活动的标度性质

我们研究了二维阿贝尔沙堆模型中雪崩活动的标度性质。不同于传统的雪崩大小分布，我们分析了位点活动性分布，该分布衡量了当颗粒被添加到整个晶格时，一个位点参与雪崩的频率。通过对系统尺寸高达$L = 160$、平均超过$10^4$个构型的数值模拟，我们确定了位点活动性的概率分布$P(A, L)$。结果表明，$P(A, L)$遵循有限尺寸标度形式$$P(A, L) \sim L^{-2} F\Big(\frac{A}{L^2}\Big).$$ 对于小值$A \ll L^2$，标度函数的行为为$$F(u) \sim u^{-1/2}, \quad \text{对应于} \quad P(A) \sim \frac{1}{L},$$ 而对于大活动性$A \sim O(L^2)$，分布衰减为$$F(u) \sim \exp\big(-c_3 u - c_4 u^2\big).$$ 这两个区域之间的交叉发生在$$A^* \sim 0.1 \, L^2,$$ 标志着典型位点与高激发位点之间的阈值。这种对局部雪崩活动的刻画为通常的雪崩大小统计提供了补充信息，突出了局部区域如何作为临界动力学的频繁通道。这些结果可能有助于将沙堆模型与现实世界中只能观察到部分局部活动的自组织临界系统联系起来。