CM 域的格伯伯猜想类结果

设 $K$ 为 CM 域，$K^+$ 为 $K$ 的最大完全实子域。假设 $K^+$ 中 $p$ 上的素理想在 $K$ 中分解。设 $S$ 为包含 $K$ 中 $p$ 上的素理想一半的集合。我们在假设 $K$ 和 $p$ 的 Leopoldt 猜想成立的前提下，证明存在唯一一个在 $S$ 上无ramification 的 $\mathbb{Z}_p$ 扩张（即 $S$-ramified $\mathbb{Z}_p$ 扩张）。CM 域的 $\mathbb{Z}_p$ 扩张具有类似于完全实域的 cyclotomic $\mathbb{Z}_p$ 扩张的性质。例如，格伯伯证明了 cyclotomic $\mathbb{Z}_p$ 扩张的 Iwasawa 不变量 $\mu=\lambda=0$ 的某些判据，我们将对 $S$-ramified $\mathbb{Z}_p$ 扩张的 CM 域作出类似结论。我们还给出一个用于虚二次域的 Iwasawa 不变量 $\mu=\lambda=0$ 的数值判据，这类似于 Fukuda 和 Komatsu 给出的实二次域的判据。