离散最优传输的尺度极限

我们考虑 $\mathbb{R}^d$ 中有界凸域离散化上概率测度的动态传输度量。这些度量是使用 Benamou-Brenier 型公式定义的 Kantorovich 度量 $\mathbb{W}_2$ 的自然离散对应。在温和假设下，我们证明了当网格 $\mathcal{T}$ 的尺寸趋于 $0$ 时，离散传输度量 $\mathcal{W}_{\mathcal{T}}$ 相对于 $\mathbb{W}_2$ 的渐近上界。然而，我们表明相应的下界在一般情况下可能不成立，即使在某些一维和对称二维网格上也是如此。此外，我们证明了在各向同性网格假设下渐近下界成立，而这假设被证明是本质必要的。该假设在例如凸正多边形剖分下满足，并蕴含传输度量的 Gromov-Hausdorff 收敛。