离散最优传输：模拟退火算法的快速收敛

我们构建了用于分析有限状态空间上模拟退火算法的离散最优传输框架。基于 Maas（J. Funct. Anal., 2011）引入的离散 Wasserstein 度量，我们定义了广义离散 Wasserstein-2 距离及其关联的离散动作概念，用于图上概率测度路径。利用这些工具，我们为模拟退火建立了非渐近收敛保证：算法输出与目标分布之间的 KL 散度由退火路径的离散动作所控制。这可视为连续空间中 Guo、Tao 和 Chen（ICLR 2025）对退火 Langevin 动力学的动作分析的离散对应。在实际应用中，我们分析了两种统计物理中的模拟退火。对于均值场 Ising 模型，展示了在任意反温度 $\beta \ge 0$ 时，退火单站 Glauber 动力学以 $O(n^5\beta^2/\varepsilon)$ 步数在 KL 散度中达到 $\varepsilon$ 误差。对于均值场 $q$ 状态 Potts 模型，展示了在 $q/2$ 的临界反温度 $\beta_{\mathsf{s}}=q/2$ 及以上（无序相完全失去稳定性的区间），退火 $(q-1)$ 块 Glauber 动力学以 $\mathrm{poly}(n, \beta, 1/\varepsilon)$ 步数在 KL 散度中达到 $\varepsilon$ 误差。在两种情况下，关键技术贡献是利用模型对称性将分析降低到低维投影链，从而获得离散动作的多项式上界。