带边界三维流形上的数量曲率与调和一形式

对于紧致有向带边界 3-流形 $N$ 上同伦能量极小映射 $u: N^3\to S^1$，我们建立一个恒等式，将水平集 $u^{-1}\{\theta\}$ 的平均 Euler 示性数与 $N$ 的数量曲率及边界 $\partial N$ 的平均曲率相联系。作为一个应用，我们得到了带边界 3-流形上 Thurston 范数的若干自然几何估计，将 Kronheimer-Mrowka 与第二位作者由闭流形情形得到的结果推广。通过将这些技术与极小曲面理论的结果相结合，我们还得到了一般闭有向三维流形上 Thurston 范数通过数量曲率与调和范数的刻画，将 Kronheimer 和 Mrowka 对不可约流形的刻画推广到任意拓扑。