极大类p群上的饱和融合系统

对于素数$p$，阶为$p^n$的有限$p$群若其幂零类为$n-1$则具有极大类。此处我们考察极大类$p$群上的饱和融合系统，特别地，我们描述阶至少为$p^4$的极大类$p$群$S$上的所有约化饱和融合系统。饱和融合系统的Alperin-Goldschmidt定理给出，$\mathcal F$完全由其$\mathcal F$-本质子群以及$S$自身的$\mathcal F$-自同构所决定。若一个$\mathcal F$-本质子群阶为$p^2$或为阶$p^3$的非交换群，则称其为$\mathcal F$-珍珠。本文中具有辅助性与技术性的定理表明，一个$\mathcal F$-本质子群要么是一个$\mathcal F$-珍珠，要么是$S$的两个显式确定的极大子群之一。若$S$为$2$群，该结果易于证明；当$p=3$时，可由Díaz、Ruiz和Viruel以及Parker和Semeraro的工作直接读出。主要贡献在于$p \ge 5$的情形，因为此时尚无极大类$p$群的分类。主定理描述了阶至少为$p^4$的极大类$p$群上的所有约化饱和融合系统，并源于两个更为广泛的定理。这两个定理分别描述了例外与非例外极大类$p$群上的所有饱和融合系统（例如不限于约化者）。作为推论，我们有一个易于记忆的结果：若$O_p(\mathcal F)=1$，则要么$\mathcal F$具有$\mathcal F$-珍珠，要么$S$同构于$\mathrm G_2(p)$（$p\ge 5$）的Sylow $p$子群，且融合系统被显式描述。