融合系统与大子群及局部性

饱和融合系统是建模有限群中 $p$-子群共轭性质的范畴。Chermak 证明了它们与称为局部性（localities）的群类结构之间存在良好的对应关系。本文我们开始探索 Meierfrankenfeld、Stellmacher 和 Stroth 旨在重新证明并推广有限单群分类部分结果的程序中的概念与结论如何翻译到融合系统与局部性中。该程序的核心概念是大 $p$-子群。有限群中大 $p$-子群的存在被证明是足够强的信息，可以几乎完全分类整个 $p$-局部结构，同时容纳大量感兴趣的群类，包括许多定义特征为 $p$ 的李型群。利用大 $p$-子群的群论定义作为蓝图，我们定义了融合系统与局部性中的大子群。随后我们分析了三种定义之间的相互关系，特别证明了新定义的概念在饱和融合系统与具有某些性质的局部性之间的对应下表现良好。我们进一步给出了一个例子，展示 Meierfrankenfeld 等人的分类结果如何翻译到融合系统与局部性中。具体而言，我们根据 Meierfrankenfeld 与 Stroth 论文中的策略，给出了 $\operatorname{Aut}(\operatorname{G}_2(3))$ 的 $2$-融合系统的一个新刻画，其中 $\operatorname{Aut}(\operatorname{G}_2(3))$ 以类似的方式被刻画。