融合系统的算法及其在小阶 $p$-群上的应用

对于素数 $p$，我们描述了一种借助计算机处理 $p$-群上特定类型融合系统的协议。这些融合系统包含所有饱和融合系统。该框架允许我们计算判定例如融合系统中两个子群是否共轭。我们描述了为 $p$-群的每个子群生成自同构化子（automorphizer）的过程。这使得饱和性可被计算检验。这些过程已使用 MAGMA 实现。我们描述了一个搜索满足 $O_p(\mathcal{F})=1$ 且 $O^p(\mathcal{F})=\mathcal{F}$ 的 $p$-群上饱和融合系统 $\mathcal{F}$ 的程序。运用这些计算方法，我们确定了在阶为 $p^n$ 的群上所有此类融合系统，其中 $(p,n) \in \{(3,4),(3,5),(3,6),(3,7),(5,4),(5,5),(5,6),(7,4),(7,5)\}$。这首次完整刻画了哪些群能够支撑奇数阶小 $p$-群上的饱和融合系统。