Alperin 融合定理的推广及其应用

设 $\mathcal F$ 为有限 $p$-群 $S$ 上的饱和融合系统，$\mathcal F$-闭子群 $P\le S$。我们定义“关于 $P$ 的 $\mathcal F$-本质子群”概念，它们是 $P$ 的某些满足技术条件的真子群，并证明 $P$ 的子群之间的 $\mathcal F$-同构可分解为 $P$ 与关于 $P$ 的 $\mathcal F$-本质子群的若干自同构之积。当取 $P=S$ 时，可作为特例得到 Alperin-Goldschmidt 融合定理。我们还证明 $P\unlhd \mathcal F$ 当且仅当不存在关于 $P$ 的 $\mathcal F$-本质子群。给出如下定义：若只要存在过度 $p$-群 $S$ 及 $S$ 上的饱和融合系统 $\mathcal F$ 使得 $P$ 为强 $\mathcal F$-闭，就有 $P\unlhd \mathcal F$，则称 $p$-群 $P$ 在饱和融合系统中是强抵抗的。我们证明了若干类 $p$-群是强抵抗的，这构成我们的第三个主要定理。我们还给出了强 $\mathcal F$-闭子群在 $\mathcal F$ 中正规的新的充要条件。这些结果是通过发展拟饱和与半饱和融合系统理论得到的，该理论本身也颇具意义。