融合系统的Burnside环及其单位群

对于$p$-群$S$上的饱和融合系统$\mathcal F$，我们研究由Matthew Gelvin和Sune Reeh所定义的融合系统的Burnside环$B(\mathcal F)$，它是Burnside环$B(S)$的一个子环。我们给出了由$S$的本质子群的$\mathcal F$-自同构群所决定的、$B(S)$中元素属于$B(\mathcal F)$的判别准则。当$\mathcal F$是由有限群$G$诱导的融合系统且$S$为其Sylow $p$-子群时，我们证明$B(G)$到$B(S)$的限制的像等于$B(\mathcal F)$。我们还证明当$p=2$时，可通过研究单位群$B(\mathcal F)^\times$获得关于融合系统的信息。当$S$为阿贝尔群时，我们完全确定了该单位群。