Thurston 构造中出现的 Salem 数拉伸因子与全实域

1974 年，Thurston 证明，在同位素意义下，闭可定向曲面的每个自同构要么是周期的、可约的，要么是伪 Anosov 的。最后一种情形引发了一套丰富的理论，其应用涵盖动力系统到低维拓扑。与每个伪 Anosov 映射相伴的是一个实数 $\lambda > 1$，称为拉伸因子。Thurston 证明了每个拉伸因子都是代数单位，但究竟哪些单位可作为拉伸因子出现尚属未知。本文中我们证明，每个 Salem 数都有一个幂是源于 Thurston 构造的伪 Anosov 映射的拉伸因子。我们还证明，每个全实数域 $K$ 都具有形式 $K = \mathbb{Q}(\lambda + \lambda^{-1})$，其中 $\lambda$ 是源于 Thurston 构造的伪 Anosov 映射的拉伸因子。