粗糙分数扩散作为近不稳定重尾 Hawkes 过程的尺度极限

我们研究了回归核具有接近 1 的 $L^1$ 范数且幂律尾形式为 $x^{-(1+\alpha)}$（其中 $\alpha\in(0,1)$）的 Hawkes 过程随时间趋于无穷的渐近行为。我们特别证明，当 $\alpha\in(1/2,1)$ 时，经过适当重标度，其律收敛于一种积分分数 Cox-Ingersoll-Ross 过程的律，其关联 Hurst 参数 $H=\alpha-1/2$。该结果不同于轻尾回归核的情形，后者在极限处得到经典的布朗 CIR 过程。有趣的是，它表明点过程中的持续性性质可导致极限过程的不规则行为。这一理论结果使我们能为近期关于金融市场中波动率粗糙性质的一些发现提供基于主体的基础。