Hawkes 过程的泛函极限定理

我们证明了 Hawkes 过程的长期行为完全由子事件的平均数量和分散度决定。对于次临界过程，我们在对过程核的极小条件下给出了 FLLN 和 FCLT，且极限定理的精确形式强烈依赖于子事件的分散度。对于具有弱分散子事件的临界 Hawkes 过程，泛函中心极限定理不成立。相反，我们证明了重标度强度过程和重标度 Hawkes 过程的行为分别类似于无均值回归的 CIR 过程和积分 CIR 过程。我们通过建立重标度 Hawkes 过程分布与相应极限过程分布之间的 Wasserstein 距离的上界来给出收敛速度。相比之下，具有强分散子事件的临界 Hawkes 过程与次临界过程具有许多共同性质。特别地，泛函极限定理成立。然而，与次临界过程不同的是，具有强分散子事件的临界过程表现出长程依赖性。