关于临界 Hawkes 过程的注记

设 $F$ 为 $\mathbb{R}$ 上的分布函数，满足 $F(0) = 0$ 且密度为 $f$。设 $\tilde{F}$ 为 $X_1 - X_2$ 的分布函数，其中 $X_i\sim F,\, i=1,2,\text{ iid}$。我们证明，对于具有位移密度（=“激发函数”=“衰减核”）$f$ 的临界 Hawkes 过程，由 $\tilde{F}$ 诱导的随机游走必然是常返的。我们猜想该条件对于临界 Hawkes 过程的存在性也是充分的。我们的思路依赖于将临界 Hawkes 过程解释为簇不变点过程。根据这一性质，我们将临界 Hawkes 过程的律识别为独立簇操作的极限。我们确立了唯一性、平稳性与无限可分性。此外，我们提供了多种构造：Poisson 嵌入、作为带有更新移民的 Hawkes 过程的表示，以及产生临界 Hawkes 过程 Palm 版本的反向构造。我们给出了构造的具体示例，其中 $F$ 具有尾部指数 $\alpha\in(0,0.5)$ 的正则变化。最后，我们提议用 Kesten（尺寸偏置）树来编码临界 Hawkes 过程的谱系结构。所提出的方法为多类型临界 Hawkes 过程以及临界整数自回归时间序列的开放性讨论奠定了基础。